Soplando al Cierzo: abril 2007

Pues sí, estamos bastante colgados de Futurama.
Hemos dado con esta web y claro, nos ha encantado:
La indoblable página de Bender Bending Rodriguez

Si sabéis alguna curiosidad más os la agradecerán.
Por nuestra parte vamos a copiarles un cacho página con algunas curiosidades de mátematicas y física que nos han hecho gracia. Y claro, a ponerles algunos links por aquí por allá, jeje :)

La descongelación de Fry

Fry se congeló el 1 de Enero de 2000 a las 0:00 AM. A partir de entonces, empezó una cuenta atrás de 1000 años para la descongelación. El problema es que existen distintos tipos de años (trópico, sideral, juliano, gregoriano...), cada uno con una duración particular determinada. El más "lógico" para usar es el "año gregoriano" medio, que tiene 365.2425 días y es por el que se rigen los calendarios actuales (que se llaman precisamente calendarios gregorianos). Por lo tanto, 1000 años son 365242.5 días. Entonces Fry se descongelaría el 31 de Diciembre de 2999 a las 12 del mediodía (teniendo en cuenta los años bisiestos y todo eso).
Efectivamente, Fry se descongela el 31 de Diciembre de 2999 y, aunque no queda explícitamente indicada la hora, todo parece indicar que ocurre hacia el mediodía.

¿Qué día es hoy?

Bender menciona en el episodio "1ACV01 - Piloto Espacial 3000" que los martes la entrada al Museo es gratis. Precisamente, el 31 de Diciembre de 2999 cae en martes. Esto se puede calcular fácilmente teniendo en cuenta que entre el 1 de Enero de 2000 (que fue Sábado) y el 31 de Diciembre de 2999 hay exactamente 365242 días.

Un número "aburrido"

Bender es el hijo #1729 (ver episodio "2ACV04 - Cuento de Navidad").
Además, la nave Nimbus (que aparece por primera vez en el episodio "1ACV04 - Obras de Amor Perdidas en el Espacio") tiene también el 1729 grabado en su carrocería. Y también existe el "Universo 1729", tal y como se nos muestra en el episodio "4ACV15 - La Paracaja de Farnsworth".

El 1729 es el llamado número de Hardy-Ramanujan, que es el más pequeño de los números Taxicab, es decir, el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes: 1729 = Ta(2) = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.
El número Taxicab n-ésimo es el número natural más pequeño que se puede expresar de n formas distintas como suma de dos cubos positivos.
El nombre de estos números proviene de la siguiente historia que tiene como protagonistas a G. H. Hardy y Ramanujan: "Una vez, en un taxi de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un hola seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, 'un número aburrido', agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. 'No, Hardy', dijo Ramanujan, 'es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos [positivos] de dos formas diferentes.'"

Actualmente, los números Taxicab son:
Ta(1) = 2
Ta(2) = 1729
Ta(3) = 87539319
Ta(4) = 6963472309248
Ta(5) = 48988659276962496
El Ta(6) no se conoce todavía, aunque hay un 99% de posibilidades de que sea 24153319581254312065344. Puedes visitar http://euler.free.fr/taxicab.htm para mantenerte al día.

Otras propiedades matemáticas interesantes del 1729, gracias a Netvicious.

Más información en MathWorld.

Intereses milmillonarios

Los intereses que le dan a Fry en el episodio "1ACV06 - Unos Valiosos Pececitos" son, más o menos, correctos:
Dinero inicial = 93 centavos; 2.25% de interés al año, durante 1000 años.
Dinero final = 0.93 * (1.0225)¹⁰⁰⁰ ya que a cada año que pasa, el saldo de la cuenta se va multiplicando por 1.0225. Se obtienen 4283508449 dólares y 71 centavos.
El resultado es bastante aproximado a los 4300 millones de dólares.

Edificios geométricos

En el episodio "1ACV09 - El Infierno Está en los Demás Robots" aparecen dos edificios con formas geométricas bastante peculiares: el "Madison Cube Garden" (que es una remodelación del "Madison Square Garden") y el Hotel "Trump Trapezoid", con forma de cubo y de trapezoide respectivamente. El primero vuelve a aparecer en muchos otros episodios.

Matemáticas de los Cánticos de un Cretino

En la asignatura que imparte H. Farnsworth en la Universidad de Marte (Matemáticas de los campos cuánticos del neutrino) aparece en la pizarra un diagrama que, según los comentarios del DVD (episodio "1ACV11 - La Universidad de Marte") es un dibujo de David Schiminovich, físico de Cal-Tech, parodiando un diagrama real de física de partículas, construído para que recordara a un perro haciendo sus necesidades (que parodia al gato de Schrödinger).
La conclusión a la que llega Farnsworth es que el electrón debe de oler a mosto.
El diagrama original es de Edward Witten, un importante físico-matemático que actualmente ejerce de profesor de Física en el Institute for Advanced Study en Princeton, New Jersey (USA). Sus trabajos principales tratan temas de supercuerdas y supersimetría. Precisamente, el perro de este diagrama está formado por supercuerdas que representan trayectorias de partículas elementales. Más información, aquí o aquí.

Números de serie relacionados

Los números de serie de Bender y Flexo (ver "2ACV06 - El Menor de Dos Malos"), pueden descomponerse como la suma de dos cubos:
Flexo: 3370318 = 119³ + 119³
Bender: 2716057 = 952³ + (-951)³
Además, esta descomposición es única.
*Nota: En la versión española, el número de serie de Bender es el 271605 (se han olvidado el último 7!!!) y no se puede descomponer como suma de dos cubos.

La gasolinera más cercana

Cuando Amy y Fry se van a dar una vuelta en coche a Mercurio, en el episodio "2ACV07 - Pon la Cabeza Sobre mis Hombros", se quedan sin gasolina justo en un lugar en el que la gasolinera más cercana (y la única) se encuentra a 4750 millas. Esto quiere decir que esta gasolinera se encuentra exactamente en el punto opuesto (antípodas) del planeta, ya que 4750 millas son más o menos 7645 kilómetros, que es lo que mide medio ecuador de Mercurio.
Por lo tanto, sea cual sea la dirección que se tome, siempre habrá 4750 millas hasta dicha gasolinera (en línea recta, trazando una geodésica por la superficie de Mercurio), puesto que este planeta no está achatado por los polos de forma notable y es prácticamente una esfera perfecta.

*Nota: Además, "Hg" es el símbolo químico del Mercurio.

La pregunta del millón

En el episodio "2ACV07 - Pon la Cabeza Sobre mis Hombros", aparecen dos misteriosos libros que llevan escrito en el lomo "P" y "NP" respectivamente. Presumiblemente, estos libros son una recopilación de problemas de clase P y de clase NP resp.
Un problema se dice que es de clase P (de tiempo Polinómico) si el número de pasos necesarios para resolverlo está acotado por un polinomio (en donde las variables del polinomio son las variables del problema).
Un problema se dice que es de clase NP (No-determinista de tiempo Polinómico) si es resoluble en tiempo polinómico por una Máquina de Turing no determinista.
Los problemas de clase NP no tienen por qué ser, al menos en principio, problemas de clase P. No obstante, todo problema de clase P es, obviamente, también de clase NP. Además, dada una solución de un problema NP, ésta es verificable en tiempo polinómico.
Todavía está por demostrar NP = P. Teniendo en cuenta lo anterior, esto es equivalente a probar que todo problema de clase NP es también de clase P: ¿Todo problema verificable en tiempo polinómico es también resoluble en tiempo polinómico? Si sabes la respuesta, enhorabuena, has ganado 1 millón de dólares (y no va de coña). Ya se han hecho avances en este aspecto y se ha llegado a que "demostrar P = NP" es equivalente a "dar un algoritmo de tiempo polinómico para resolver el famoso juego del Buscaminas".
Podríamos resolver el problema echándole un vistazo a este par de libros y comprobando si son iguales o no. A juzgar por su grosor, parece que sí...

Más información en MathWorld.

Discreto y discreto

En la puerta del despacho de Bender (ver episodio "2ACV07 - Pon la Cabeza Sobre mis Hombros") aparecen las palabras "discreet" y "discrete". Ambas se traducen como "discreto", pero cada una tiene su propio significado y contexto. La primera significa "cuidadoso o juicioso en aquello que se dice o hace". La segunda se usa normalmente en el ámbito matemático y se define como "separado; discontinuo".
Las "Matemáticas Discretas" estudian las propiedades matemáticas de conjuntos y sistemas que tienen un número finito de elementos o bien un número infinito numerable de elementos que estén separados entre sí (es decir, separables T₀, también llamados de Riesz).

El infinito más pequeño

El cine del episodio "2ACV08 - Bender Salvaje" se llama "Loew's ℵ₀-Plex". También aparece en el episodio "3ACV15 - Salí con una Robot".
ℵ₀ (leído "Alef sub-cero") es un símbolo que se usa para denotar el cardinal (es decir, el número de elementos) del conjunto de los números naturales {0, 1, 2, 3, ...}. Es, por lo tanto, un infinito numerable.
ℵ₁ es el cardinal de las partes de los naturales, es decir, del conjunto formado por todos los posibles conjuntos de naturales. Por lo tanto, ℵ₁ = 2^ℵ₀. Además, ℵ₁ es el cardinal de los números reales, que es un infinito no numerable. La Hipótesis del Contínuo afirma que entre ℵ₀ y ℵ₁ no hay otro tipo de infinito.
En general, ℵ_n es el cardinal de las partes de las partes de las partes... (n veces) de los naturales. De forma recursiva: ℵ_n = 2^ℵ_n-1.
Esto, unido a que el sufijo "-Plex" en el nombre de un cine es indicador del número de salas (por ejemplo, un cine 12-Plex es un cine con 12 salas) nos indica que el cine Loew tiene un número infinito (pero numerable) de salas.

El Gato de Schrödinger

El Club que diseña el profesor Farnsworth en su juventud en el episodio "2ACV10 - Un Clon Propio" se llama "Schrödinger's Kit Kat Club", que podría traducirse como "Club de Gatitas de Schrödinger". El experimento del gato de Schrödinger es un experimento mental aparentemente paradójico, diseñado por Erwin Schrödinger para exponer uno de los aspectos más extraños, a priori, de la mecánica cuántica.

Supongamos un sistema formado por una caja cerrada y opaca que contiene un gato, una botella de gas venenoso, una partícula radiactiva con un 50% de probabilidades de desintegrarse y un dispositivo tal que, si la partícula se desintegra, se rompe la botella y el gato muere. Al depender todo el sistema del estado final de un único átomo que actúa según la mecánica cuántica, tanto la partícula como el gato forman parte de un sistema sometido a las leyes de la mecánica cuántica.

Siguiendo la interpretación de Copenhague, mientras no abramos la caja, el gato está en un estado tal que está vivo y muerto a la vez. En el momento en que abramos la caja, la sola acción de observar al gato modifica el estado del gato, haciendo que pase a estar solamente vivo, o solamente muerto. Esto se debe a una propiedad física llamada superposición cuántica. (Extraído de la Wikipedia.)

Número astronómico

En la publicidad de los Popplers de Fishy Joe's (ver "2ACV15 - Mi problema con los Poppler") se lleva la cuenta del número de Popplers servidos, y en este caso es de 3.8 x 10¹⁰. Coincidencia o no, ésta es la distancia media entre la Tierra y la Luna, medida en centímetros. Esto quiere decir que si un Poppler midiese 2 cm. y los pusiéramos a todos en fila, podríamos ir a la Luna y volver, lo que podría ser el motivo de un slogan promocional del estilo: "¡Hemos vendido tantos popplers como para ir a la Luna y volver!". La cifra final de Popplers servidos (mencionada por Kif) es de 198 billones americanos, es decir 1.98 x 10¹¹ (teniendo en cuenta que 1 billón americano = mil millones europeos), más de cinco veces la anterior.
Además, la distancia media de la Tierra a la Luna crece cada año en 3.8 cm. (esto sí que es coincidencia).

La Bestia Binaria

En el episodio "2ACV18 - El Bocinazo", aparece la cifra 1010011010 reflejada en un espejo. Esta cifra es 666 en binario:
1010011010 = 1 * 2⁹ + 0 * 2⁸ + 1 * 2⁷ + 0 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 512 + 128 + 16 + 8 + 2 = 666.

Y en el "Cómic #13 - The Bender You Say" aparece de nuevo el número 666 en binario, en la matrícula del coche del Diablo Robot, esta vez de la forma 0110-0110-0110, que en decimal es 6-6-6.

Ganador... por una entrada cuántica

La carrera de caballos del episodio "3ACV04 - La Suerte del Frylandés" tiene un final tan apretado que el ganador sólo le saca unas cuantas partículas cuánticas de ventaja al segundo clasificado. Entonces el profesor Farnsworth protesta alegando que se ha modificado el resultado sólo por el hecho de medirlo.
No le falta razón, ya que el Principio de Incertidumbre de Heisenberg (enunciado en 1927) nos dice que la precisión con la que podemos medir la posición de una partícula en un instante dado es inversamente proporcional a la precisión con la que podemos medir la velocidad de esa partícula en ese mismo instante. Así que si los jueces de la carrera han medido también la velocidad de los caballos en la llegada, han podido alterar la medida de la posición.
El hecho de que el medir magnitudes de partículas afecten a éstas se hace también relevante en la propiedad de "Dualidad onda-corpúsculo" de la luz: El hecho de observar a los fotones como "corpúsculos" hace que se comporten como tales, pero si medimos la luz como si fuese una onda aparecen otras propiedades de onda que en principio son incompatibles con las propiedades de los "corpúsculos", como la difracción.

El Centro y el Borde del Universo

El "centro del Universo" siempre ha sido una idea muy importante para los seres humanos por su posible trascendencia filosófica. Sin embargo, el modelo cosmológico que se deduce de la Teoría de la Relatividad describe un Universo isotrópico y en el que no existen puntos privilegiados, lo que ha sido confirmado por observaciones astronómicas. Es decir, el Universo se ve (a gran escala) prácticamente igual en todas direcciones, independientemente del punto desde el que esté observando. Debido a esta propiedad, cualquier experimento que diseñe para calcular el centro del Universo ¡dará como resultado que el centro soy yo! Por ejemplo, si quisiera hallar el centro de masas del Universo, tendría que hacer un listado de todas las galaxias que veo, sus masas y sus distancias, y sorprendentemente el centro de masas estaría en la Vía Láctea (donde me encuentro). Pero si repito los cálculos desde otra galaxia, obtendría que esa otra galaxia también es el centro de masas. Esto tiene dos posibles interpretaciones: que el centro del Universo es cualquier punto, o que no existe tal centro.

Algo parecido sucede con el borde del Universo, ya que tal borde no existe. Esto es debido a que el Universo, pese a que es muy posible que sea finito, no tiene límites. Aunque parezca difícil de imaginar, esto se puede ver fácilmente con ayuda del famoso ejemplo del globo, en el que el Universo es representado por la goma de un globo (solamente la goma, tanto el aire de dentro como el de fuera no forman parte del Universo y por lo tanto no existen, con lo que estamos considerando un Universo de sólo 2 dimensiones espaciales). Las galaxias serían puntos pintados homogéneamente sobre la superficie del globo y los observadores situados en dichas galaxias sólo podrían ver en 2 dimensiones. Así pues, aunque finito, el Universo no tendría bordes, y además se vería lo mismo desde cualquier punto. El hecho de que no haya puntos privilegiados en la superficie del globo se traduce a que tampoco los hay en el Universo. Y lo que sería el centro geométrico del globo no pertenece al Universo, con lo que no tendría sentido ni siquiera el intentar hallarlo. Y si nos ponemos a inflar el globo, tendremos una interpretación de la expansión del Universo...

Cerveza que desorienta

El envase de la "cerveza de Klein" (ver "3ACV12 - La Ruta de Todo Mal") es la versión en ℜ³ de la curiosa "botella de Klein", una superficie no orientable en ℜ⁴.
Esta versión tridimensional en realidad no es una superficie "suave" debido a que se corta a sí misma; en cambio, la verdadera botella de Klein cuadridimensional no se corta a sí misma y por lo tanto sí que es "suave".
El hecho de que no sea orientable quiere decir que la cara de dentro y la de fuera son en realidad la misma cara (esto mismo pasa con la famosa "banda de Moëbius" en ℜ³). Como prueba de ello, si le diésemos vueltas a la botella, la cerveza que contiene se derramaría, cosa que no ocurriría si el envase fuese orientable (como por ejemplo una esfera o un toro, que tienen dos caras: la de dentro y la de fuera). Llegados a este punto, podeis pensar: "Bueno, si usamos como envase una botella normal sin tapón, al girarla también se caería la cerveza...". La diferencia es que una "botella normal sin tapón" no es una superficie "suave", ya que tiene bordes. Si le ponemos un tapón para quitar los bordes, entonces es orientable y la cerveza no caería.

Otras marcas de cerveza que aparecen son "Olde Fortran" y "St. Pauli's Exclusion Principle Girl". La primera hace referencia al viejo lenguaje de programación Fortran (que significa "Formula Translation"), utilizado en gran parte por matemáticos (más información en Curiosidades Informáticas). La segunda marca de cervezas es una parodia de la existente marca de cerveza "St. Pauli" (lo de "Girl" es porque esta marca de cerveza organiza un concurso anual para elegir a la "Chica St. Pauli"). Es un juego de palabras con el "Principio de Exclusión de Pauli", un conocido principio de Física Cuántica enunciado por Wolfgang Pauli, ganador del Premio Nobel de Física en 1945: dos partículas distintas no pueden ocupar simultáneamente la misma posición cuántica.

Velocidad de vértigo

Cuando Cubert y Dwight mandan a la tripulación de Planet Express a hacer un envío falso al otro extremo del Universo en el episodio "3ACV12 - La Ruta de Todo Mal", éstos tardan solamente 7 días en ir y volver. Como la edad del Universo se estima entorno a 14000 millones de años, podemos suponer que ese llamado "otro extremo" se encuentra a 14000 millones de años luz. Así pues, han viajado a una velocidad media de 1460×10⁹ veces la antigua velocidad de la luz (recordemos que ésto es posible en el año 3000, ya que la velocidad de la luz se aumentó en 2208), es decir, 4.38×10¹⁷ km/s.

Para hacernos una idea, veamos cuánto se tardaría en llegar a distintos lugares del Universo:

Lugar	Distancia estimada	Tiempo estimado de viaje
Luna	380000 km	0.868 picoseg (1 picoseg = 10^-12 seg)
Marte	[78×10⁶ km , 378×10⁶ km]	[0.178 nanoseg , 0.863 nanoseg] (1 nanoseg = 10^-9 seg)
Alpha Centauri	4.26 años luz	92 microseg (1 microseg = 10^-6 seg)
Omicron Persei 8	1000 años luz	21.6 miliseg (1 miliseg = 10^-3 seg)
Centro de la Vía Láctea	26000 años luz	0.562 seg
Andrómeda	2.5×10⁶ años luz	54 seg
Quásar 3C 273	2.44×10⁹ años luz	14.6 horas

Singularidad espacio-temporal

Un agujero negro es una región finita del espacio-tiempo provocada por una gran concentración de masa en su interior, con un campo gravitatorio tal que ninguna partícula material, ni siquiera la luz, puede escapar de dicha región. La superficie del espacio-tiempo que separa al interior del agujero negro del resto del universo se llama "horizonte de sucesos", y desde fuera de él no es posible observar lo que sucede dentro.

En 1915, pocos meses después de que Einstein publicara la Teoría de la Relatividad General, Karl Schwarzschild encontró un ejemplo teórico de espacio-tiempo en donde sólo existía una masa puntual (es decir, una masa concentrada en un punto infinítamente pequeño), y comprobó matemáticamente la existencia de un horizonte de sucesos alrededor de esta masa con las propiedades anteriormente descritas. Dicho horizonte de sucesos podía ser interpretado como una esfera cuyo radio fue llamado "radio de Schwarzschild" y que tenía a la masa puntual en el centro. En este punto infinítamente denso, el espacio-tiempo presentaba una singularidad, en donde las leyes de la física dejaban de tener sentido. Pero en realidad, para la formación de un agujero negro no es necesaria tal singularidad, simplemente tiene que haber un cuerpo cuyo radio sea menor que el correspondiente radio de Schwarzschild. Por ejemplo, para que nuestro Sol formase un agujero negro, tendría que tener un radio inferior a 3 km.

*Nota: En el doblaje español del episodio "3ACV12 - La Ruta de Todo Mal", Cubert dice "No convertirás más nuestros almuerzos en un espacio temporal", en vez de "No convertirás más nuestros almuerzos en una singularidad espacio-temporal", que tiene mucho más sentido.

Más información en la Wikipedia.

Enfriamiento orbital

En el episodio "4ACV08 - Crímenes del Sofocón" se acaba con el problema del calentamiento global alejando a la Tierra del Sol, de forma que el año tiene una semana más. Estudiemos esto con más detalle:
La Primera Ley de Kepler dice que todas las órbitas son elípticas con el Sol en uno de sus focos. Para la Tierra, esta elipse es prácticamente una circunferencia, con un semieje mayor de 1 UA (1 Unidad Astronómica = 149.6×10⁶ km) y variando su distancia al Sol entre 0.98 UA (cuando la Tierra está en su perihelio) y 1.02 UA (cuando la Tierra está en su afelio) aproximadamente.
La Tercera Ley de Kepler dice P²=K*R³, en donde P es el período de la órbita (es decir, la duración del año), R es la longitud del semieje mayor de la órbita, y K es una constante que depende de las unidades empleadas. En el caso de la Tierra, se suelen emplear las unidades de año sidéreo (365.256363 días) y UA, porque así K=1. Por lo tanto, si incrementamos P en una semana, entonces el nuevo semieje mayor sería de 1.0127 UA, es decir, se vería incrementado en casi 2 millones de kilómetros.
Así pues, aunque 2 millones de kilómetros son muchos kilómetros, la alteración producida sería prácticamente tres veces menor que la variación que actualmente sufre la distancia Tierra-Sol a lo largo del año. Teniendo en cuenta que prácticamente no hay diferencias entre las temperaturas de los veranos del Hemisferio Norte (que se producen en el afelio) y los del Hemisferio Sur (en el perihelio), es probable que esta alteración de la órbita no causase un efecto notable sobre la temperatura del planeta. No obstante, como en astronomía no se pueden hacer experimentos, esto no se puede comprobar.

Otra pregunta del millón

La hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann. Es uno de los problemas abiertos más importante de las matemáticas contemporáneas (y parece que seguirá abierto en el siglo XXXI, como podemos ver en el "Cómic #11 - The Cure for the Common Clod") y el Clay Mathematics Institute ha ofrecido un premio de un millón de dólares por una demostración (como en el problema P=NP), ya que resolverá muchas incógnitas acerca de la distribución no aleatoria de los números primos.
La función zeta de Riemann está definida para todo número complejo z distinto de 1. Tiene algunos ceros llamados "triviales" para z = - 2, z = -4, z = -6, ... La hipótesis de Riemann se centra en los ceros no triviales, y enuncia que "la parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2". En el plano complejo, la recta Re(z)=1/2 (en donde se supone que se encuentran todos los ceros no triviales) se denomina "recta crítica".

Más información en MathWorld.

Números irracionales

El Canal de Noticias Raíz de 2, en varios episodios, como por ejemplo "1ACV08 - Un Enorme Montón de Basura" o "2ACV03 - A la Cabeza de las Elecciones".

	La Histórica Raíz de 66 en "3ACV02 - Parásitos Perdidos". "Route" ("ruta" en inglés) se pronuncia muy parecido a "Root" ("raíz" en inglés).
	Una lata de aceite lubricante π-in-1 en "3ACV11 - Mal del Ordenador Central".
	La πth Avenue después de la 3rd Avenue, en "3ACV21 - Acciones Futuras".
	La marca de muebles y complementos del hogar πKea en "4ACV04 - Menos que un Héroe".
	Concurso "¿Cuál es el último dígito de π?" en el "Cómic #13 - The Bender You Say". El problema es que al ser un número irracional, no tiene último dígito.